Integral Trigonometri

Teori, Soal dan pembahasan Integral Trigonometri

Sebelum kita membahas tentang integral trigonometri hal penting yang harus dikuasai terlebih dahulu oleh siswa adalah materi diferensial / turunan trigonometri.

Teori , soal dan pembahasan integral trigonometri

Untuk Apersepsi dan mengingat kembali berikut adalah beberapa turunan dari trigonometri yang telah dipelajari :

y = sin\: ax\rightarrow y'=a\, cos\, ax

y=cos\: ax\rightarrow y'=-a\ sin\: ax

y=tan\: ax\rightarrow y'=a\, sec^2ax

y=sec\: ax\rightarrow y'=a\,sec\, ax.tan\, ax

y=csc\, ax\rightarrow y'=-a\, csc\, ax.cot\, ax

y=cot\, ax\rightarrow y'=-a\, csc^2x

Rumus Integral Trigonomteri

karena integral merupakan anti turunan maka proses diatas dapat kita balik menjadi sebagai berikut :


\int sin\, ax\: dx=- \frac{1}{a}\, cos\, ax+c

\int cos\, ax\: dx= \frac{1}{a}\, sin\, ax+c

\int sec^2\, ax\: dx= \frac{1}{a}\, tan\, ax+c

\int sec\, ax.tan\, ax\: dx= \frac{1}{a}\, sec\, ax+c

\int csc^2\, ax\: dx=- \frac{1}{a}\, cot\, ax+c


Usahakan Anda Mengahafal Rumus agar nanti mudah dalam mengerjakan soal !

Soal dan Pembahasan Integral Trigonometri

Agar lebih memahami bagaimana cara penggunaan dari rumus intergal diatas kami sajikan beberapa soal dan pembahasannya.

Contoh soal 1.

\int 4 sin \, 2x\, dx=-4.\frac{1}{2}cos\, 2x+c=-2\, cos\, 2x+c

contoh soal 2.

\int 6sec\, 2x.tan\, 2x\: dx=6.\frac{1}{2}sec\, 2x+c=3sec\, 2x+c


perlu siswa ingat kembali beberapa identitas trigonometri dan sifat perkaliannya untuk integral kali ini ada 7 rumus wajib untuk dihafal.

sin A . cos B = 1/2 sin ( A + B ) + 1/2 sin ( A – B )

cos A . sin B = 1/2 sin ( A + B ) – 1/2 sin ( A – B )

cos A . cos B = 1/2 cos ( A+B ) + 1/2 cos ( A – B )

sin A . sin B = 1/2 cos ( A – B ) – 1/2 cos ( A – B )

\sin^2x+\cos ^2x=1

\sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x

\cos^2x=\frac{1}{2} +\frac{1}{2}\cos 2x


contoh soal 3.

\int (4\sin 3x.\cos 5x)dx

langkah pertama ubah terlebih dahulu soal dari bentuk perkalian menjadi penjumlahan atau pengurangan agar dapat di-integralkan.

\int 4(\frac{1}{2}\sin (3x+5x)+\frac{1}{2}\sin (3x-5x))dx

=\int 4(\frac{1}{2}\sin (8x)+\frac{1}{2}\sin (-2x))dx

=\int (2sin (8x)-2\sin (2x))dx

=-2.\frac{1}{8}\cos 8x+2.\frac{1}{2}\cos 2x+c

=-\frac{1}{4}\cos 8x+\cos 2x+c


Teknik integral subtitusi pada pengintegralan trigonometri

salah satu teknik pengitegralan yang perlu siswa ketahui adalah dengan metode subtitusi karena beberapa penyelesaian siswa harus menggunakan teknik ini.

pada artikel sebelumnya telah kami bahas : metode integral subtitusi bentuk aljabar tak tentu

Contoh soal 4

\int 2x\, \sin (x^2+1)dx

Perhatikan fungsi aljabar didalam trigonometri ada perbedaan selisih satu pangkat dengan di luar trigonomentri

Misalkan fungsi  yang memiliki pangkat eksponen yang lebih tinggi.

u = x^2+1

lalu turunkan kedua ruasnya

du=2x\, dx

dx=\frac{du}{2x}

subtitusikan ke soal diatas sehingga menjadi bentuk

\int {\color{Red} 2x}\, \sin u.\frac{du}{{\color{Red} 2x}}=\int \sin u\: du=-\cos u+c

jangan lupa subtitusi kembali pemisalan sebelumnya sehingga mendapatkan jawaban akhir

-\cos (x^2+1)+c


Contoh soal 5

\int 4 \sin (2x-1)\cos^3(2x-1) dx

berbeda dengan contoh soal 4 jika diperhatikan sin dan cos memiliki fungsi aljabar didalamnya yang sama namun  sinus berpanglat 1 sedangkan kosinus berpangkat 3.

berarti yang kamu harus misalkan adalah yang memiliki pangkat tertinggi

u=\cos (2x-1)

diferensialkan kedua ruasnya

du=-2\, \sin (2x-1)dx

pindah ruaskan menjadi dx =..

dx=\frac{du}{-2\sin (2x-1)}

Subtitusikan kedalam soal awal menjadi bentuk

\int 4\, \sin (2x-1)\cos^3u(\frac{du}{-2\sin (2x-1)})

=\int -2\cos^3u\: du

= -\frac{2}{4}\cos^4u +c

=-\frac{1}{2}\cos ^4(2x-1)+c


Soal simak UI 2009

hasil dari \int (\sin x+\sin ^3x+\sin ^5x+...)dx adalah…

lihat bentuk soalnya merupakan penjumlahan tak hingga, biasanya jika jumlah takhinga berhubungan dengan deret geometri

langkah pertama tentukan rasio dari deretnya

r=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{\sin ^3x}{\sin x}=\sin ^2x

S_\infty =\frac{a}{1-r}=\frac{\sin x}{1-\sin ^2x}=\frac{\sin x}{\cos^2x} =\frac{\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos x}

=\tan x. \sec x

sehingga bentuk integralnya menjadi \int\tan x\sec x\: dx

ingat kembali rumus dasar pengintegalan trigonometri

\int\tan x\sec x\: dx    =\sec x+c


Mengalami kesulitan dalam materi integral trigonometri ? anda bisa mengikuti les privat matematika secara online atau guru matematika datang ke rumah anda.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *